リプシッツ連続についてのメモ。
定義:リプシッツ連続
関数が任意の実数に対し、 $$ \mid \, f(x) - f(y) \mid \leq k \mid x - y \, \mid $$ を満たす0以上のがとれるとき、関数はリプシッツ連続であるといい、をリプシッツ定数という。
のとき、任意の実数について上式は成り立つので、 「関数がリプシッツ連続」であることは、「となる任意の実数に対して $$ \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq k $$ を満たす0以上の定数がとれることと同値である。 つまり関数がリプシッツ連続であるとは、関数のグラフ上の任意の異なる2点を通る直線の傾きが、以上以下である、すなわち、関数の変化率の絶対値はを超えないということである。
定理:リプシッツ連続な関数は連続
とすると、より、
となるため、リプシッツ連続な関数は連続となる。