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リプシッツ連続

リプシッツ連続についてのメモ。

定義:リプシッツ連続

関数{f(x)}が任意の実数{x, y}に対し、 {} $$ \mid \, f(x) - f(y) \mid \leq k \mid x - y \, \mid $$ を満たす0以上の{k}がとれるとき、関数{f(x)}はリプシッツ連続であるといい、{k}をリプシッツ定数という。

{x = y}のとき、任意の実数について上式は成り立つので、 「関数{f(x)}がリプシッツ連続」であることは、「{x \neq y}となる任意の実数{x, y}に対して {} $$ \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq k $$ を満たす0以上の定数{k}がとれることと同値である。 つまり関数{f(x)}がリプシッツ連続であるとは、関数{y = f(x)}のグラフ上の任意の異なる2点{(a, f(a)), (b, f(b))}を通る直線の傾きが、{-k}以上{k}以下である、すなわち、関数{f(x)}の変化率の絶対値は{k}を超えないということである。

定理:リプシッツ連続な関数は連続

{x_{n} \rightarrow x}とすると、{\mid \, f(x_{n}) - f(x) \mid \leq k \mid x_{n} - x \mid \rightarrow 0}より、{f(x_{n}) \rightarrow f(x)}

となるため、リプシッツ連続な関数は連続となる。