グニョグニョ動く柔軟物の実装の一つにShape Matching法があります．
この手法は2005年のSIGGRAPHで発表されたものです．
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幾何的な制約条件をもとに物体を変形させていく手法で，
有限要素法（FEM）とは全く別のアプローチをとっています．
FEMと比較したShape Matchingの特徴として，以下のものがあります．
- 計算量が小さく高速
- 物理的に不正確
- 実装が容易
なので，CGなど，見た目がそれっぽければよい場面においては使える手法です．
今回は，上述の論文を読んで実装してみました．
手続き
各頂点のgoalpositionを毎ステップ求めていきます．
アルゴリズムは論文に書いてある通りなのですが，
初期位置の決定，初期重心の決定，qi=xi^0-xcm^0を予め求めておいて，
- 重心xcmの計算
- Apqの計算
- S=sqrt(Apq^t,Apq)の計算
- R=ApqS^(-1)の計算
- 各頂点のgoalposition=R(xi^0-xcm^0)+xcmの計算
- 速度と変位を求めて反映
というステップを毎サイクルまわします．
Apq^tとApqの積は対称行列なので，jacobi法で固有値固有ベクトルだして対角化し，
平方根求めるのが速いらしいです．
六面体要素ではこんな感じになりました．
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Unity WebGL Player | basicPhysics
WebGLで遊べます（読み込みに少し時間がかかります）．
球をカーソルで引っ張ってみてください．
最小の六面体要素ごとに，shape matchingを行っています．
shape matchingを行う要素の重なりが大きくなるほど，変形しにくくなります．
CPUに逐次計算をさせています．
ShapeMatchingをより複雑な変形を高速に行うための手法としては，
FastLSM(Lattice shape matching)とFastASM(Adaptive shape matching)が代表的です．
